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Suma de tres cubos

Nicolás Atanes Santos
Joven estudiante apasionado por “las mates”. Creador del blog “Raíz de Mate"
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análisis

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¿Por qué la suma de tres cubos es un problema matemático difícil? Empezando por que 3 es 569,936,821,221,962,380,720³ + (−569,936,821,113,563,493,509)³ + (−472,715,493,453,327,032)³, y acabando por la posibilidad de escribir 33 como 19 + 6 + 8 o como 11 + 11 + 11, o 33 = 31 + 1 + 1. También podemos usar números negativos, por lo que podemos escribir 33 como 35 + (−1) + ( −1). Hay infinitas maneras en que podemos hacer esto, ya que siempre podemos aumentar uno o dos de los números y disminuir otro para compensar, de modo que 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + ( −108), y así sucesivamente.

Por otra parte, escribir 33 como una suma de tres cuadrados es ya más difícil. Necesitaríamos encontrar tres cuadrados perfectos, como 1 igual a 1², 9 igual a 3² y 64 igual a 8² que suman 33. Después de buscar, podrías encontrar que 33 es igual a 4² + 4² + 1² y 33 es 5² + 2² + 2². ¿Hay más? Realmente no. Podrías reemplazar un 4 con −4 y aún así obtener 33 igual a (-4)² + 4² + 1², dándonos algunas formas diferentes de escribir nuestras soluciones, pero solo hay unas pocas de formas de escribir 33 como una suma de tres cuadrados.

Imagina buscar una solución para 33 = x³ + y³ + z³. ¿Es más difícil? Puedes empezar a buscar de manera que (−100)³ + (−100)³ + (−100)³, luego ir reduciendo para aproximarse a 33. Aquí es donde entró Andrew Booker. Este ideó algunas técnicas adicionales de álgebra y teoría de números para mejorar aún más su eficiencia de búsqueda. Y cuando soltó el problema de la supercomputadora de su universidad, en tres semanas volvió con la primera representación de 33 como una suma de tres cubos, afirmando que 33 era 8,866,128,975,287,528³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³.

Después de que Booker resolvió este problema, y antes de que él y Sutherland volvieran su atención al número 3, también resolvió el problema abierto para 42, que es igual a (−80,538,738,812,075,974)³ + 80,435,758,145,817,515³ + 12,602,123,297,335,631³.

Puede ser sorprendente que, después de miles de años, todavía tengamos cosas que aprender sobre números como 3, 33 y 42. Quizás parezca aún más sorprendente que las ideas abstractas de las matemáticas de secundaria pueden ayudar a buscar estos números, como la fórmula para la suma de cubos. Pero así es como funcionan las matemáticas, y por eso seguimos explorando. Por lo tanto, tenga en cuenta 114, el número más pequeño para el cual la pregunta de la suma de tres cubos no está decidida actualmente. Tengo la sensación de que para Andrew Booker y otros matemáticos, la búsqueda ya ha comenzado.

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